Question

5．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	30
捐款不超 过500元		6
合计	（图2）

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：临界值表参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求出K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为$\overline x$元，则：$\begin{array}{l}\overline x=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009\\+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360\end{array}$…（2分）
（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，损失超过8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，因此，ξ的可能取值为0，1，2$P（ξ=0）=\frac{{C_{12}^2}}{{C_{15}^2}}=\frac{22}{35}$，$P（ξ=1）=\frac{{C_3^1C_{12}^1}}{{C_{15}^2}}=\frac{12}{35}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{{C_{15}^2}}=\frac{1}{35}$

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

ξ的分布列为$Eξ=0×\frac{22}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{1}{35}=\frac{2}{5}$…（7分）
（Ⅲ）如图：

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	30	9	39
捐款不超 过500元	5	6	11
合计	35	15	50

K²=$\frac{50×（30×6-9×5）^{2}}{39×11×35×15}$≈4.046＞3.841，
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查求ξ的分布列和数学期望，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．