Question

1．已知函数f（x）是定义R⁺的减函数，有f（$\frac{1}{2}$）=1，对任意的x，y∈R^*，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1），f（2）的值；
（2）解不等式：f（2）+f（5-x）≥-2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；再令x=$\frac{1}{2}$，y=2，利用f（1）的值，即可求得f（2）的值；
（2）由题意可得f（4）=-2，则原不等式可化为：f[2（5-x）]≥f（4），结合函数的定义域和单调性，可解不等式．

解答 解：（1）∵任意的x，y∈R^*，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0；
又f（$\frac{1}{2}$）=1，令x=$\frac{1}{2}$，y=2，则f（1）=f（$\frac{1}{2}$）+f（2）=0，
∴f（2）=-1；
（2）∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，f（xy）=f（x）+f（y），
f（2）=-1，令x=y=2，则f（4）=2f（2）=-2，
f（2）+f（5-x）≥-2可化为：f[2（5-x）]≥f（4），
∴$\left\{\begin{array}{l}5-x＞0\\ 2（5-x）≤4\end{array}\right.$，
解得：x∈[3，5）．
∴原不等式的解集为：[3，5）

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．