Question

12．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1）在区间（-1，+∞）上递减，求证：对于任意实数x₁＞0，x₂＞0，恒有$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]≥f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}-2}{2}$）

Answer 1

分析 由条件，结合对数函数的性质，可得0＜a＜1，运用作差法和对数的运算性质，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可得证．

解答 证明：函数f（x）=log_a（x+1）在区间（-1，+∞）上递减，
即有0＜a＜1，
对于任意实数x₁＞0，x₂＞0，
$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]-f（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$-1）
=$\frac{1}{2}$（log_ax₁+log_ax₂）-log_a $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$
=log_a $\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$-log_a $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，
由于 $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$≥$\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$，
又0＜a＜1，
则log_a $\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$≥log_a $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，
则有$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]≥f（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$-1），
当且仅当x₁=x₂取得等号．

点评 本题考查对数函数的单调性的运用，同时考查对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题．