Question

7．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．
（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；
（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=3，CF=9，求AC的长．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．
（II）利用切割线定理可得CF²=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AC}{BC}$，即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，连接BE
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
又∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，∴AB•AC=AD•AE．
又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．
（II）解：∵CF是⊙O的切线，∴CF²=AF•BF，
∵AF=3，CF=9，∴9²=3BF，解得BF=27．
∴AB=BF-AF=24．
∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AC}{BC}$，∴AC=$\frac{AF•BC}{CF}$=8．

点评 本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．