Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（ ）　　

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C

∵M、N分别是A1B1、BB1的中点，而A1B1＝BB1＝1，∴B1M＝B1N＝1/2。
∵B1E是MA平移所得，∴B1E∥MA、B1E＝MA，∴AEB1M是平行四边形，∴AE＝B1M＝1/2，
∴BE＝AB－AE＝1－1/2＝1/2。
∵B1F是NC平移所得，∴B1F∥NC、B1F＝NC，∴CFB1N是平行四边形，∴FC＝B1N＝1/2。
∵ABCD－AB1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，∴BE⊥BC，
∴CE^2＝BE^2＋BC^2＝（1/2）^2＋1＝5/4。
∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥CE，∴EF＝√（FC^2＋CE^2）＝√［（1/2）^2＋5/4］＝√6/2。
容易求出：B1E＝B1F＝√［（1/2）^2＋1］＝√5/2。
∴sin［（1/2）∠EB1F］＝（1/2）EF/B1E＝（1/2）×（√6/2）/（√5/2）＝√6/（2√5）。
∴cos∠EB1F＝1－2｛sin［（1/2）∠EB1F］｝^2＝1－2×6/（4×5）＝2/5。
∵B1E∥MA、B1F∥NC，∴∠EB1F＝AM与CN所成的角。
∴AM与CN所成角的余弦值是2/5。