Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁上中点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA₁=4．
（1）求证：CF∥平面AEB₁；
（2）求三棱锥C-AB₁E的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AB₁的中点G，联结EG，FG，由已知条件推导出四边形FGEC是平行四边形，由此能证明CF∥平面AB₁E．
（2）由VC-AB1E=VB1-ACE，利用等积法能求出三棱锥C-AB₁E的体积．

解答： （1）证明：取AB₁的中点G，联结EG，FG
∵F，G分别是棱AB、AB₁的中点，
∴FG∥BB1，FG=

1

2

BB1
又∵FG∥EC，EC=

1

2

CC1，FG=EC
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG，
∵CF不包含于平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．
（2）解：∵AA₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥CB，
又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，即BC⊥面ACE，
∴点B到平面AEB₁的距离为BC=2，
又∵BB₁∥平面ACE，∴B₁到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即为2，
∴VC-AB1E=VB1-ACE=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．