Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，G为CC₁的中点，O为底面ABCD的中心．
求证：A₁O⊥平面GBD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：利用线面垂直的判定定理证明DB⊥平面A₁ACC₁ ，证得A₁O⊥DB．再用勾股定理证明A₁O⊥OG，这样，A₁O就垂直于平面GBD内的两条相交直线，故A₁O⊥平面GBD．

解答： 证明：连接GO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

2

2

，tan∠GOC=

2

2

，∴∠AA₁O=∠GOC，
则∠A₁OA+∠GOC=90°．∴A₁O⊥OG．
∵OG∩DB=O，∴A₁O⊥平面GBD．

点评：本题考查证明直线和平面垂直的方法，在其中一个平面内找出2条相交直线和另一个平面垂直．