Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）试在线段A₁B₁上找一点M，使得平面AC₁M∥平面CDB₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出CC₁⊥AC，BC⊥AC，从而AC⊥平面BCC₁B₁，由此能证明AC⊥BC₁．
（Ⅱ）设BC₁∩CB₁=O，则O为B₁C中点．连接OD，点D是AB的中点，从而AC₁∥OD，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）M为线段A₁B₁的中点．使得平面AC₁M∥平面CDB₁．由点D是AB的中点，M为线段A₁B₁的中点，推导出CD∥C₁M，AM∥DB₁，从而得到平面AC₁M∥平面CDB₁．

解答： （1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥AC，
AC=3，BC=4，AB=5，因此BC⊥AC，
而BC∩CC₁=C，
因此AC⊥平面BCC₁B₁，
而BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．
（Ⅱ）证明：设BC₁∩CB₁=O，则O为B₁C中点．
连接OD，点D是AB的中点，
因此AC₁∥OD，而OD?平面B₁CD，AC₁不包含于平面B₁CD，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：M为线段A₁B₁的中点．使得平面AC₁M∥平面CDB₁．
证明如下：
∵点D是AB的中点，M为线段A₁B₁的中点，
∴CD∥C₁M，AD

∥

.

MB₁，∴四边形ADB₁M是平行四边形，
∴AM∥DB₁，
∵C₁M∩AM=M，∴平面AC₁M∥平面CDB₁．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考要直线与平面平行证明，考查使平面与平面平行的点的位置的确定与证明，解题时要注意空间思维能力的培养．