Question

证明：函数f（x）=

2x-1

2x+1

在R上为增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：法1：利用分式函数的单调性的性质即可得到结论．
法2：根据函数单调性的定义进行证明．

解答： 解：法1：f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x+1是R上的增函数，
∴y=

2

2x+1

是R上的减函数，
y=-

2

2x+1

是R上的增函数，
则f（x）=1-

2

2x+1

是R上的增函数．
法2：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=

2x-1

2x+1

在R上为增函数．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性之间的关系即可得到结论．本题也可以使用单调性的定义进行证明．