Question

已知点A（-2，0）和圆O：x²+y²=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆0上的动点，PD⊥AB，交AB于D，

PE

=λ

ED

，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．
（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程．
（2）若点Q、R是曲线E上不同的点，且PQ、PR与曲线E相切，求△OQR面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得B（2，0），M（-1，0），N（1，0），设P（x₀，y₀），C（x，y），则E（x0，

y0

1+λ

），由

y2

x2-4

=

y02 1+λ

x02-4

，由此能求出λ的值和点C的轨迹曲线E的方程．
（2）．设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），设直线QR的方程为y=kx+m，直线QR的方程为

x0x

4

+

y0y

3

=1，由y=kx+m与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，x≠2联立，得（4k²+3）x²-8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式结合已知条件能求出△OQR面积的最小值．

解答： 解：（1）∵点A（-2，0）和圆O：x²+y²=4，AB是圆O的直经，
∴B（2，0），∵从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，∴M（-1，0），N（1，0），
设P（x₀，y₀），C（x，y），则E（x0，

y0

1+λ

），
直线PA与BE交于C，
故x≠±2，

y

x+2

=

y0

x0+2

，①
且

y

x-2

=

y0 1+λ

x0-2

，②…（2分）
①②相乘得

y2

x2-4

=

y02 1+λ

x02-4

，
又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，
故

y2

x2-4

=-

1

1+λ

，
即

x2

4

+

y2

4 1+λ

=1，要使|CM|+|CN|为定值，
则4-

4

1+λ

=1，解得λ=

1

3

，此时

x2

4

+

y2

3

=1，x≠±2，
即λ=

1

3

时，点C的轨迹曲线E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，x≠2．…（5分）
（2）．设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），又因为点P（异于A，B） 是圆O上的动点，
故直线QR斜率存在，设直线QR的方程为y=kx+m，
则PQ、PR的方程分别为

xx1

4

+

yy1

3

=1，

xx2

4

+

yy2

3

=1，
所以

x0x1

4

+

y0y1

3

=1，

x0x2

4

+

y0y2

3

=1，
故直线QR的方程为

x0x

4

+

y0y

3

=1，
比较系数，得k=-

3x0

4y0

，m=

3

y0

，
即y0=

3

m

，x0=-

4k

m

，∴4m²=16k²+9，③…（7分）
另一方面，由y=kx+m与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，x≠2联立，
得（4k²+3）x²-8kmx+4m²-12=0，
于是得x1+x2=

8km

4k2+3

，④，x1x2=

4m2-12

4k2+3

，⑤…（9分）
∴|QR|=

k2+1

|x1-x2|，又因为O到QR的距离为d=

|m|

k2+1

，
所以△OQR的面积：
S=

1

2

|QR|•d=

|m|

2

|x₁-x₂|=

1

2

m2[(x1+x2)2-4x1x2]

，
将③④⑤代入消去k，得S=

12|m|

4m2+3

=

12

4|m|+ 3 |m|

，其中|m|=|

3

y0

|∈[

3

2

，+∞）．…（11分）
∴f（t）=

12

4|m|+ 3 |m|

在[

3

2

，+∞）是减函数，于是当t=|m|=

3

2

时，
S_min=[f（t）]_min=f（

3

2

）=

3

2

．…（13分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．