Question

已知

a

=（2cosx，0），

b

=（

3

sinx，cosx），

c

=（cosx，sinx），函数f（x）=

a

•（

b

-

c

），x∈[0，

π

2

]．a，b，c为△ABC的角A、B、C的对边．
（1）求函数f（x）的解析式及值域；
（2）在△ABC中，若

AB

•

AC

=-4，a=

7

，f（

A

2

）=1，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：计算题

分析：（1）利用向量数量积的运算法则，及三角函数公式对f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，并求值域．
（2）利用

AB

•

AC

=-4应得出bc=8，结合余弦定理整体求出b+c．

解答： 解：（1）

b

-

c

=（

3

sinx-cosx，cosx-sinx），2

3?

sinxcosx-2cos2x=

3?

sin2x-cos2x-1
f(x)=

a

•(

b

-

c

)=2

3?

sinxcosx-2cos2x=

3?

sin2x-cos2x-1=2sin(2x-

π

6

)-1
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x--

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
∴f（x）的值域为[-2，1]
（2）由（1）知，f(

A

2

)=1可得sin(A-

π

6

)=1，∵0＜A＜π，∴A-

π

6

=

π

2

⇒A=

2π

3

又∵

AB

•

AC

=bccosA=-

1

2

bc=-4，∴bc=8
由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²+bc=28，∴b+c=6．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积坐标表示的应用，余弦定理的应用，难度不大，考查了数学中的重点知识和方法．