Question

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）图象的一部分如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-8，8]时，求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,余弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得此函数的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）由图象知A=2，T=8，∵T=

2π

ω

=8，∴ω=

π

4

，
又图象经过点（-1，0），∴2sin（-

π

4

+φ）=0，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

，∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（Ⅱ）∵y=f（x）+f（x+2）=2sin（（

π

4

x+

π

4

）+2sin（

π

4

x+

π

2

+

π

4

）
=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

）=2

2

sin（

π

4

x+

π

2

）=2

2

cos

π

4

x，
令 2kπ-π≤

π

4

x≤2kπ，k∈z，求得 8k-4≤x≤8k，故函数的增区间为[8k-4，8k]．
令 2kπ≤

π

4

x≤2kπ+π，k∈z，求得 8k≤x≤8k+4，故函数的减区间为[8k，8k+4]．
再结合 x∈[-8，8]，可得函数的增区间为[-4，0]、[4，8]，减区间为[-8，-4]、[0，4]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角恒等变换，余弦函数的单调区间，属于基础题．