Question

过圆x²+y²=1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则|

OA

+2

OB

|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：设∠OBP=α，由O＜α＜

π

2

，∠OBP=

π

2

-α，知|

OA

+2

OB

|=|（

1

cosα

，

2

sinα

）然后利用向量的模以及基本不等式求出表达式的最小值即可．

解答： 解：设∠OAP=α，
∵O＜α＜

π

2

，∠OBP=

π

2

-α，
∴

OA

=（

1

cosα

，0），2

OB

=（0，

2

sinα

）
∴|

OA

+2

OB

|=|（

1

cosα

，

2

sinα

）|=

1 cos2α + 4 sin2α

=

tan2α+ 4 tan2α +5

≥

9

=3，
当且仅当tan2α=

4

tan2α

时，表达式取得最小值3．
故答案为：3．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用均值不等式进行解题．