Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①对于任意实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-p，其中p是正实常数；
②f（2）=p-1；
③当x＞1时，总有f（x）＜p．
（1）求f（1）与f（

1

2

）的值（用p表示）；
（2）设a_n=f（2ⁿ）n∈N⁺，数列{a_n}的前n项和为S_n，当且仅当n=5时，S_n取得最大值，求p的取值范围； 
（3）设m=e^t，n=t+1（t＞0），判断f（m）与f（n）的大小并说明理由．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法结合条件即可得到结论．
（2）根据数列的关系推导出数列的通项公式，结合等差数列的性质即可得到结论．
（3）根据函数单调性的定义，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；结合函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：（1）令a=b=1，则f（1）=2f（1）-p，故f（1）=p，
又f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-p，且f（2）=p-1，
得f（

1

2

）=f（1）-f（2）+p=p+1；
（2）a_n=f（2ⁿ），n∈N⁺，则a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）=f（2•2ⁿ）=f（2）+f（2ⁿ）-p=a_n-1，
则a_n+1-a_n=-1，
a₁=f（2）=p-1，
则数列{a_n}是公差为-1的等差数列，
则a_n=p-1-（n-1）=-n+p，
∵当且仅当n=5时，S_n取得最大值，
∴

a5=-5+p＞0 a6=-6+p＜0

，解得5＜p＜6，
即p的取值范围是（5，6）； 
（3）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，由③知f（

x2

x1

）＜p，即f（

x2

x1

）-p＜0
f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=[f（

x2

x1

•）+f（x₁）-p]-f（x₁）=f（

x2

x1

）-p＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
设h（t）=e^t-t-1，则h′（t）=e^t-1，当t＞0时，h′（t）＞0，
∴h（t）在（0，+∞）上的单调单调递增，
∴e^t＞t+1，∴m＞n时，f（m）＜f（n）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，综合考查函数的性质是应用．