Question

已知函数f（x）=

|x2-a2|

ex

，其中e是自然对数的底数，实数a＞0．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：函数f（x）的极值点（x≠±a）与原点连线的斜率之乘积为定值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,分段函数的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用分段函数表示出函数f（x），然后求函数的导数，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数f（x）的极值，利用导数的几何意义即可得到结论．

解答： 解析：（1）f(x)=

x2-a2 ex ，x≤-a或x≥a - x2-a2 ex ，-a＜x＜a

…1分
①当x≤-a或x≥a时，f′(x)=(

x2-a2

ex

)′=-

x2-2x-a2

ex

，
令f′(x)=0，得x1=1-

1+a2

或x2=1+

1+a2

∵a＞0，∴-a＜1-

1+a2

，1+

1+a2

＞a
∴当a＜x＜1+

1+a2

时，f′(x)＞0
当x＜-a或x＞1+

1+a2

时，f′(x)＜0…4分
②当-a＜x＜a时，f′(x)=-(

x2-a2

ex

)′=

x2-2x-a2

ex

，
同①可知当-a＜x＜1-

1+a2

时，f′(x)＞0，当1-

1+a2

＜x＜a时，f′(x)＜0
∴函数f（x）的单调递增区间为(-a，1-

1+a2

)，(a，1+

1+a2

)，
单调递减区间为（-∞，-a），(1-

1+a2

，a)，(1+

1+a2

，+∞)，…7分
法二、先求g(x)=

x2-a2

ex

，g′(x)=(

x2-a2

ex

)′=-

x2-2x-a2

ex

，
令g′(x)=0即-

x2-2x-a2

ex

=0，x1=1-

1+a2

，x2=1+

1+a2

当x＜x₁或x＞x₂时，g'（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时，g'（x）＞0
∴g（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增
将g（x）图象在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方连同g（x）图象原来在x轴上方的图象得到f（x）的图象
又g（-a）=g（a）=0，-a＜1-

1+a2

，1+

1+a2

＞a，及x＞x₂时，g（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为(-a，1-

1+a2

)，(a，1+

1+a2

)，
单调递减区间为（-∞，-a），(1-

1+a2

，a)，(1+

1+a2

，+∞)，
（2）由（1）可知当x1=1-

1+a2

时，函数f（x）取极大值，
且f(1-

1+a2

)=

|(1- 1+a2 )2-a2|

e1- 1+a2

=

2( 1+a2 -1)

e1- 1+a2

可知当x2=1+

1+a2

时，函数f（x）取极大值，
且f(1+

1+a2

)=

|(1+ 1+a2 )2-a2|

e1+ 1+a2

=

2( 1+a2 +1)

e1+ 1+a2

…10分

∴x1x2=-a2，f（x₁）f（x₂）=f(1-

1+a2

)•f(1+

1+a2

)=

2( 1+a2 -1)

e1- 1+a2

×

2( 1+a2 +1)

e1+ 1+a2

=

4a2

e2

∴

f(x1)

x1

•

f(x2)

x2

=

f(x1)f(x2)

x1x2

=-

4

e2

为定值．…13分．

点评：本题主要考查函数单调性和极值和导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用，综合性较强，运算量较大．