Question

已知实数p＞0，直线3x-4y+2p=0与抛物线x²=2py和圆x²+（y-

p

2

）²=

p2

4

从左到右的交点依次为A、B、C、D，则

AB

CD

的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=

p

2

．由抛物线的定义得：|AB|=|AF|-|BF|=y₁，同理|CD|=y₂，所以

AB

CD

=

y1

y2

，联立直线3x-4y+2p=0与抛物线x²=2py的方程且消去x解出y₁=

p

8

，y₂=2p，即可得出结论．

解答： 解：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），抛物线的焦点为F，
由题意得|BF|=|CF|=

p

2

由抛物线的定义得：|AB|=|AF|-|BF|=

p

2

+y₁-

p

2

=y₁，同理得|CD|=y₂
所以

AB

CD

=

y1

y2

．
联立直线3x-4y+2p=0与抛物线x²=2py的方程且消去x得：8y²-17py+2p²=0
解得：y₁=

p

8

，y₂=2p，
所以

AB

CD

=

y1

y2

=

1

16

．
故答案为：

1

16

．

点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．