Question

已知向量

a

=（sin（π-ωx），cosωx），

b

=（1，-

3

），且f（x）=

a

•

b

的最小正周期为π（ω＞0）
（1）求ω的值；
（2）若x∈（0，

π

2

），解方程f（x）=1；
（3）在△OAB中，O为原点，A=（x，2），B（-3，5），且∠AOB为锐角，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据已知条件求出f（x）=sin(π-ωx)-

3

cosωx=2sin(ωx-

π

3

)，所以根据f（x）的最小正周期为π便能求出ω．
（2）由x的范围，便能求出2x-

π

3

的范围，再根据正弦函数的取值，求出x．
（3）求出向量

OA

，

OB

，然后求出cos∠AOB，根据∠AOB是锐角，能得到0＜cos∠AOB＜1，这边得到关于x的不等式，从而求出x的取值范围．

解答： 解：（1）f(x)=sin(π-ωx)-

3

cosωx=sinωx-

3

cosωx=2sin(ωx-

π

3

)，∴π=

2π

ω

，∴ω=2．
（2）由f（x）=1得：2sin(2x-

π

3

)=1，∴sin(2x-

π

3

)=

1

2

；
又x∈(0，

π

2

)，∴2x-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)；
∴2x-

π

3

=

π

6

，解得x=

π

4

．
（3）

OA

=(x，2)，

OB

=(-3，5)；
∴cos∠AOB=

-3x+10

x2+4 • 34

，∵∠AOB为锐角；
∴0＜

-3x+10

x2+4 34

＜1；
解得：x＜

10

3

，；
∴x的取值范围是：（-∞，-

6

5

）∪（-

6

5

，

10

3

）．

点评：本题考查数量积的坐标运算，两角差的正弦公式，正余弦函数在一段区间上的取值情况，两向量夹角的余弦公式，函数sin（ωx+φ）的最小正周期．