Question

如果实数x、y满足（x+2）²+y²=3，求

y

x

的最大值、2y-x的最小值．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：

y

x

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设

y

x

=k，即y=kx，求出直线y=kx与圆相切时，k的值，即可确定斜率k的最大值；2y-x可看作是直线y=

1

2

x+b在y轴上的截距，当直线y=

1

2

x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值．

解答： 解：原方程表示以（-2，0）为圆心，

3

为半径的圆，

y

x

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设

y

x

=k，即y=kx
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时

|-2k-0|

k2+1

=

3

，∴k=±

3

所以

y

x

的最大值为

3

；
2y-x可看作是直线y=

1

2

x+b在y轴上的截距，当直线y=

1

2

x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时

|-1+b|

1 4 +1

=

3

，所以b=1±

15

2

．
所以2y-x的最小值为1-

15

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．