Question

已知四棱锥P-ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．
（Ⅰ）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求此四棱锥的表面积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明CD⊥平面PAD，故有CD⊥AE．再由AE是等腰直角三角形PAD的底边的中线可得AE⊥PD，再根据直线和平面垂直的判定定理可得AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）利用侧面积与底面积的和，即可求出此四棱锥的表面积．

解答： （Ⅰ）证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD
又PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD
又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴AE⊥PD
又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD
∴AE⊥平面PCD…（7分）
（Ⅱ）解：由题意可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积S_ABCD=2×2=4，高h=2，
∴四棱锥P-ABCD的表面积S=2•2+

1

2

•2•2+

1

2

•2•2+

1

2

•2•2

2

+

1

2

•2•2

2

=8+4

2

…（13分）

点评：本题主要考查三视图、直线和平面垂直的判定定理的应用，求四棱锥P-ABCD的表面积，属于中档题．