Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

4an-1

kan-1+1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当1＜k＜3时，证明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）分类讨论，利用

1

an

-

k

3

=

1

4

（

1

an-1

-

k

3

），可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由a_n=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

得a_n-

3

k

=

3k-9

k(k•4n-1+3-k)

，从而可得a_n-

3

k

＞

3k-9

k

•

1

k•4n-1

=

3k-9

k2

•

1

4n-1

，即可证明结论．

解答： （1）解：∵a_n=

4an-1

kan-1+1

（n≥2），
∴

1

an

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

，
∴

1

an

-

k

3

=

1

4

（

1

an-1

-

k

3

）
①k=3时，{

1

an

-1}是各项为0的常数列，∴a_n=1；
②k≠3时，{

1

an

-

k

3

}是以1-

k

3

为首项，

1

4

的等比数列，∴

1

an

-

k

3

=（1-

k

3

）•(

1

4

)n-1，
∴a_n=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

，
综上，a_n=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

；
（2）证明：由a_n=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

得a_n-

3

k

=

3k-9

k(k•4n-1+3-k)

，
∵1＜k＜3，
∴a_n-

3

k

＞

3k-9

k

•

1

k•4n-1

=

3k-9

k2

•

1

4n-1

∴a₁+a₂+…+a_n-

3n-8k

k

=（a₁-

3

k

）+（a₂-

3

k

）+…+（a_n-

3

k

）+8＞

3k-9

k2

•（1+

1

4

+…+

1

4n-1

）+8
=

4(k-3)

k2

•[1-(

1

4

)n]+8＞

4(k-3)

k2

+8=

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0，
∴a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．

点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．