Question

在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，∠PCA=90°，D为PA中点，二面角P-AC-B的大小为为120°，PC=2，AB=2

3

．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求BD与底面ABC所成的角，
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）欲证AC⊥BD，可证AC垂直于BD所在的平面，故取AC的中点E，并连接DE、BE，则问题得证．
（2）需确定∠DBE为BD与平面ABC所成角、∠BED为二面角P-AC-B的平面角，则在△BDE中两次利用余弦定理问题解决．
（3）求出P到平面ABC的距离，利用锥体的体积公式，即可求三棱锥P-ABC的体积．

解答： （1）证明：取AC的中点E，并连接DE、BE，如图所示，
因为D是PA中点，E是AC的中点，所以DE∥PC，
又∠PCA=90°，即PC⊥AC，所以DE⊥AC，
且正三角形ABC中，BE⊥AC，
所以AC⊥平面BDE，又BD?平面BDE，
所以AC⊥BD．
（2）解：在平面BDE中作EF⊥BE，交BD于F，且EF⊥AC，BE∩AC=E，
所以EF⊥平面ABC，则∠FBE即∠DBE为BD与平面ABC所成角，
其中DE=2×

1

2

=1，BE=2

3

sin60°=3，
由AC⊥平面BDE知，∠BED为二面角P-AC-B的平面角，即∠BED=120°，
由余弦定理得，BD²=1+9-2×1×3cos120°=13，即BD=

13

，
所以cos∠DBE=

9+13-1

2×3× 13

=

7 13

26

，
所以∠DBE=arccos

7 13

26

．
即BD与平面ABC所成角为arccos

7 13

26

．
（3）解：因为D为PA的中点，所以P到平面ABC的距离h=2DG=

3

，
所以V_P-ABC=

1

3

S△ABCh=

1

3

×

3

4

×(2

3

)2×

3

=3．

点评：本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及线面夹角的定义，同时考查余弦定理与空间想象能力，考查锥体体积的计算．