Question

已知ABC-A₁B₁C₁是底面边长为2的正三棱柱，O为BC的中点．
（Ⅰ）设A₁O与底面A₁B₁C₁所成的角的大小为α，二面角B-AO-B₁的大小为β，
求证：tanβ=

3

tanα；　　　　　
（Ⅱ）若点C到平面AB₁C₁的距离为

3

2

，求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,与二面角有关的立体几何综合题

专题：计算题,空间角

分析：（Ⅰ）利用空间线面位置关系作出设A₁O与底面A₁B₁C₁所成的角的大小为α与二面角B-AO-B₁的大小为β；
（Ⅱ）向量法解决

解答： 解：（Ⅰ）设正三棱柱的高为h，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，∴A₁O与底面A₁B₁C₁所成的角大小等于A₁O与底面ABC所成的角大小，即∠AOA₁=α，则tanα=

AA1

AO

=

h

3

，…（2分）
∵AB=AC，O为BC的中点，∴AO⊥BC，
又∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，交线是BC，AO?平面ABC，∴AO⊥BB₁C₁C，
∴∠BOB₁是二面角B-AO-B₁的平面角，即∠BOB₁=β，则 tanβ=

BB1

BO

=h，…（5分）
∴tanβ=

3

tanα…（6分）
（Ⅱ） 设O为BC的中点，如图建系，则

AB1

=(-

3

，1，h)，

C1B1

=(0，2，0)，

CA

=(1，

3

，0)，…（8分）
设平面AB₁C₁的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • AB1 =0 n • C1B1 =0

…（9分）
即

- 3 x+y+hz=0 y=0

，取

n

=(h，0，

3

)…（10分）
∴点C到平面AB₁C₁的距离为d=|

CA • n

| n |

|=

h

2 h2+3

=

3

2

，…（11分）
解得h=1…（12分）

点评：本题主要考查了正三棱柱中的线面角、二面角的平面角的计算，以及向量法求距离，考查推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性．