Question

如图，三棱锥A-BCD各棱长都为1，且M、N分别是AB、CD的中点，
（1）求MN和BD所成角；
（2）求该三棱锥体积与它的内切球体积之比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,球的体积和表面积,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取BC中点O，连接MO，NO，则∠MNO（或其补角）为MN和BD所成角；
（2）求出三棱锥的高，可得三棱锥的体积，求出内切球的半径，可得内切球的体积，即可求出三棱锥体积与它的内切球体积之比．

解答： 解：（1）取BC中点O，连接MO，NO，则
∵N是CD的中点，
∴ON∥BD，
∴∠MNO（或其补角）为MN和BD所成角．
∵MO=NO，MO⊥NO，
∴∠MNO=45°，即MN和BD所成角为45°；
（2）作AO′⊥平面ABC，则AO′=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴三棱锥体积为

1

3

×

3

4

×

6

3

=

2

12

．
设内切球的半径为r，则4×

1

3

×

3

4

r=

2

12

．
∴r=

6

12

，
∴内切球体积为

4

3

π×(

6

12

)3=

6

216

π，
∴三棱锥体积与它的内切球体积之比为

6 3

π

．

点评：本题考查线线角，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．