Question

已知，如图，AB是圆O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
（Ⅰ）求证：FA∥BE：；
（Ⅱ）求证：

AP

PC

=

FA

AB

；
（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（I）利用圆的性质、平行线的判定定理即可得出；
（II）利用弦切角定理可证明△APC∽△FAC，进而得出；
（III）利用割线定理可得AC²=CP•CF=CP•（CP+PF），解得CP．再利用（2）中的结论

AP

FA

=

PC

AC

，及在Rt△FAP中，tan∠F=

AP

FA

=

PC

AC

即可得出．

解答： （I）证明：在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF．
∴∠OAF=∠F．
∵∠B=∠F，
∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，
∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC．∴

AP

FA

=

PC

AC

．
∴

AP

PC

=

FA

AC

．
∵AB=AC，
∴

AP

PC

=

FA

AB

．
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则AC²=CP•CF=CP•（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4．
整理得CP²+2CP-4=0，
解得CP=-1±

5

．
∵CP＞0，∴CP=

5

-1
∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°．
由（2）中证得

AP

FA

=

PC

AC

，
在Rt△FAP中，tan∠F=

AP

FA

=

PC

AC

=

5 -1

2

．
∴tan∠CPE=tan∠F=

5 -1

2

．

点评：本题考查了圆的性质、平行线的判定定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质定理、圆的割线定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．