Question

（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（-2，-4）的抛物线方程．
（2）设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离是多少？

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y²=2px和x²=-2py，然后将M点坐标代入即可求出抛物线标准方程；
（2）根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线准线的距离．

解答： 解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点 （-2，-4），
设它的标准方程为y²=-2px（p＞0）
∴16=4p，解得p=4，
∴y²=-8x．
抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点 （-2，-4），
设它的标准方程为x²=-2py（p＞0）
∴4=-8p，
解得：p=-

1

2

．
∴x²=-y
综上所述，抛物线方程为：y²=-8x或x²=-y；
（2）依题意可知F坐标为（

p

2

，0）
∴B的坐标为（

p

4

，1）代入抛物线方程解得p=

2

，
∴抛物线准线方程为x=-

2

2

，
∴点B到抛物线准线的距离为

2

4

+

2

2

=

3 2

4

，
则B到该抛物线焦点的距离为

3 2

4

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及几何性质，解题过程中要注意对称轴是x轴和y轴两种情况作答，属于基础题．