Question

已知函数y=f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点．设二次函数f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）．
（Ⅰ）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是f（x）的不动点，且A，B两点关于直线y=kx+

1

2a2+1

对称，求b的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）转化为ax²+bx+b-1=0有两个不等实根，转化为b²-4a（b-1）＞0恒成立，再利用二次函数大于0恒成立须满足的条件来求解即可．
（Ⅱ）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直．找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）恒有两个相异的不动点，
∴f（x）-x=ax²+bx+（b-1）=0恒有两个不等的实根，
∴△=b²-4a（b-1）=b²-4ab+4a＞0对b∈R恒成立，
∴（4a）²-16a＜0，得a的取值范围为（0，1）．…4分
（Ⅱ）由ax²+bx+（b-1）=0得

x1+x2

2

=-

b

2a

，
由题知k=-1，y=-x+

1

2a2+1

，…6分
设A，B中点为E，则E的横坐标为(-

b

2a

，

b

2a

+

1

2a2+1

)，…10分
∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

，
∴b=-

a

2a2+1

=-

1

2a+ 1 a

≥-

2

4

，当且仅当2a=

1

a

(0＜a＜1)，即a=

2

2

时等号成立，
∴b的最小值为-

2

4

．…12分．

点评：本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题．关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直．