Question

设向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），x∈[0，

π

2

]
（1）若|

a

|=|

b

|，求x的值
（2）设函数f（x）=

a

•

b

，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据|

a

|=|

b

|，就能得到关于x的方程，解方程即可．
（2）根据向量积的坐标运算求得f（x）=

3

sinxcosx+sin2x，根据二倍角公式，两角差的正弦公式化简f（x）=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，根据x的取值，从而求出f（x）的取值范围．

解答： 解：（1）由|

a

|=|

b

|得：3sin²x+sin²x=cos²x+sin²x=1；
∴sin2x=

1

4

，∵x∈[0，

π

2

]，∴sinx=

1

2

，∴x=

π

6

．
（2）f（x）=

3

sinxcosx+sin2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]；
∴sin(-

π

6

)≤sin(2x-

π

6

)≤sin

π

2

∴0≤f（x）≤

3

2

；
∴f（x）的取值范围是[0，

3

2

]．

点评：熟练掌握二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式是求解本题的关键．