Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且1，a_n，S_n成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列满足b_n=（log₂a_n+1）（log₂a_n+2），求证：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据1，a_n，S_n成等差数列，建立条件关系，利用构造法进行化简，由此能求出a_n．
（Ⅱ）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：∵1，a_n，S_n成等差数列，
∴2a_n=S_n+1，
当n=1时，2a₁=a₁+1，∴a₁=1，
当n≥2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=a₁•2^n-1=1•2^n-1=2^n-1．
（Ⅱ）证明：b_n=（log₂a_n+1）（log₂a_n+2）=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的应用，考查裂项法求和，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．