Question

如图所示，已知△AOB中，点C与点B关于点A对称，

OD

=2

DB

，DC和OA交于点E，设O

A

=

a

，

OB

=

b

．
（1）用

a

和

b

表示向量

OC

，

DC

；
（2）若

OE

=

λOA

，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由于点C与点B关于点A对称，可得

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，解得

OC

=2

a

-

b

．即可得出

DC

=

DO

+

OC

．
（2）由C，E，D三点共线，根据向量共线定理存在实数m使得

OE

=m

OC

+(1-m)

OD

．另一方面

OE

=λ

OA

=λ

a

，即可得出．

解答： 解：（1）∵点C与点B关于点A对称，∴点A是线段BC的中点，
∴

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，即

a

=

1

2

(

b

+

OC

)，解得

OC

=2

a

-

b

．

DC

=

DO

+

OC

=-

2

3

OB

+

OC

=-

2

3

b

+2

a

-

b

=2

a

-

5

3

b

．
（2）∵C，E，D三点共线，∴存在实数m使得

OE

=m

OC

+(1-m)

OD

=m(2

a

-

b

)+(1-m)•

2

3

b

=2m

a

+

2-5m

3

b

．
又

OE

=λ

OA

=λ

a

，
∴

2m=λ 2-5m 3 =0

，解得λ=

4

5

．

点评：本题考查了中心对称、向量的平行四边形法则、向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．