Question

如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG，平面ADF，平面CDE都与平面ABCD垂直，且△ABG、△ADF、△CDE都是正三角形．
（1）求证：AC∥FE；
（2）求多面体ABCDEFG的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）分别取AD，CD的中点P，Q，连接FP，EQ，PQ，证明四边形EQPF是平行四边形，可得EF∥PQ，利用PQ∥AC，即可证明AC∥FE；
（2）多面体ABCDEFG的体积可由棱柱ABG-DCE与四棱锥F-ADEG的体积相加得到．

解答： （1）证明：如图，分别取AD，CD的中点P，Q，连接FP，EQ，PQ
因为△ABG、△ADF、△CDE都是边长为2的正三角形
所以FP⊥AD，EQ⊥CD，且FP=EQ=

3

又因为平面ADF，平面CDE都与平面ABCD垂直
所以FP⊥平面ABCD，EQ⊥平面ABCD
所以FP∥EQ，且FP=EQ
所以四边形EQPF是平行四边形
所以EF∥PQ．
因为PQ是△ACD的中位线，所以PQ∥AC
所以EF∥AC；
（2）解：多面体ABCDEFG的体积可由棱柱ABG-DCE与四棱锥F-ADEG的体积相加得到，
所以VABCDEFG=VABG-DCE+VF-ADEG=2

3

+

2 3

3

=

8 3

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查线线平行，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力．