Question

已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n＞0，前n项和为S_n，若a_n=

Sn

+

Sn-1

，（n∈N^*，n≥2）．
（l）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

anan+1

}前n项和为T_n，求证

1

20

≤T_n≤

3

20

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（l）根据数列的递推关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{

1

anan+1

}前n项和为T_n，利用不等式的性质即可证明

1

20

≤T_n≤

3

20

．

解答： 解：（1）∵a_n=

Sn

+

Sn-1

=S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）．（n∈N^*，n≥2）．
∴

Sn

-

Sn-1

=1，
即{

Sn

}是一个首项为

S1

=

a1

=

4

=2，公差d=1的等差数列，
则

Sn

=2+n-1=n+1，
则S_n=（n+1）²，
当n≥2时，a_n=

Sn

+

Sn-1

=n+1+n=2n+1，
当n=1时，a₁=4不满足a_n，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=

4， n=1 2n， n≥2

（2）若数列{

1

anan+1

}前n项和为T_n，
则T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4×5

+

1

5×7

+

1

7×9

+…+

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

20

+

1

2

（

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=

1

20

+

1

2

（

1

5

-

1

2n+3

）=

3

20

-

1

4n+6

，
∵

1

4n+6

≤

1

10

，
∴

1

20

≤T_n≤

3

20

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的应用，以及数列和不等式的综合应用，利用裂项法求和是解决本题的关键．