Question

如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，′E为DD′的中点，BD′为正方体的对角线，
（1）求证：BD′∥平面ACE；
（2）设正方体的棱长为a，沿着平面ACE将正方体截去一个棱锥D-ACE，求剩下的几何体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，交AC于O，由已知得OE∥BD′，由此能证明BD′∥平面ACE．
（2）截去的几何体为三棱锥，以△ADC为底面，则DE为三棱锥的高，求出正方体的体积和截去的三棱锥的体积，由此能求出剩下的几何体的体积．

解答： （1）证明：连接BD，交AC于O，
在△ACE中，E，O分别为DD′和AC的中点，
∴OE∥BD′，
又∵BD′不包含于平面ACE，OE?平面ACE，
∴BD′∥平面ACE．
（2）解：截去的几何体为三棱锥，若以△ADC为底面，则DE为三棱锥的高，
∵正方体的棱长为a，∴正方体的体积为V1=a3，
截去的三棱锥的体积V₂=

1

3

Sh=

1

3

•

1

2

a2•

1

2

a=

1

12

a3，
∴剩下的几何体的体积V₃=V₁-V₂=a3-

1

12

a3=

11

12

a3．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．