Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，BC∥AD，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=2，E，F分别为PA，AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面BEF∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅲ）设Q为侧棱PD上一点，

PQ

=λ

PD

，试确定λ的值，使得二面角Q-AC-P的余弦值为

3

3

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出四边形BCDF是平行四边形，从而BF∥CD，进而CD∥平面BEF，由E，F分别为PA，AD的中点，得EF∥PD，从而PD∥平面BEF，由此能证明平面BEF∥平面PCD．
（Ⅱ）由已知条件推导出AC⊥DC，CD⊥PA，由此能证明CD⊥平面PAC．
（Ⅲ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出λ=

1

2

，使得二面角Q-AC-P的余弦值为

3

3

．

解答： （Ⅰ）证明：∵底面ABCD是梯形，BC∥AD，AB=BC=PA=1，AD=2，
∴BC

∥

.

FD，∴四边形BCDF是平行四边形，
∴BF∥CD，
∵BF?平面ABF，CD不包含于平面ABF，
∴CD∥平面BEF，
∵E，F分别为PA，AD的中点，
∴EF∥PD，
∵EF?平面BEF，PD不包含于平面BEF，
∴PD∥平面BEF，
∵PD∩CD=D，∴平面BEF∥平面PCD．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知四边形BCDF是平行四边形，
又∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=2，
∴∠CBF=∠CDF=∠ACB=45°，
∴∠ACD=90°，∴AC⊥DC，
又∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0）
设Q（a，b，c），则

PQ

=（a，b，c-1），

PD

=（0，2，-1），∵

PQ

=λ

PD

，
∴

a=0 b=2λ c=1-λ

，∴Q（0，2λ，1-λ），
∴

AQ

=（0，2λ，1-λ），

AC

=（1，1，0），
设平面ACQ的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AQ =2λy+(1-λ)z=0 n • AC =x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，

2λ

1-λ

），
∵CD⊥平面PAC，∴面PAC的法向量为

CD

=(-1，1，0)，
∴二面角Q-AC-P的余弦值为

3

3

，
∴cos＜

CD

，

n

＞=|

-1-1

2 • 2+( 2λ 1-λ )2

|=

3

3

，
解得λ=

1

2

，
∴λ=

1

2

，使得二面角Q-AC-P的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查平面与平面平行证明，考查直线与平面垂直的证明，考查满足入条的实数植的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．