Question

8．已知抛物线C：y²=4x上一点P，若以P为圆心，|PO|为半径作圆与抛物线的准线l交于不同的两点M，N，设准线l与x轴的交点为A，则$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围是（0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 设P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），则圆P的方程为（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$）²+（y-y₀）²=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}$+y₀²，设M（-1，y₁），N（-1，y₂），$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$，利用函数的单调性，即可求出$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围．

解答 解：设P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），则圆P的方程为（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$）²+（y-y₀）²=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}$+y₀²，
令x=-1，得y²-2y₀y+1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=0，
设M（-1，y₁），N（-1，y₂），则y₁y₂=1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$，y₁+y₂=2y₀，
△=2y₀²-4＞0，y₀²＞2，
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$，
令t=|y₀|（t＞$\sqrt{2}$），则y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上单调递减，
∴y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$∈（0，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围是（0，$\sqrt{2}$）．
故答案为：（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查抛物线方程，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，确定$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$是关键．