Question

17．二次不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{1}{2}$}，则关于x的不等式cx²-bx+a＞0的解集为（-3，-2）．

Answer 1

分析 根据不等式ax²+bx+c＞0的解集可得对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0；再利用根与系数的关系写出不等式cx²+bx+a＜0，求解即可．

解答 解：∵不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{1}{2}$}，
∴$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0；
∴$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$=-$\frac{b}{a}$，$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$=$\frac{c}{a}$，
∴b=-$\frac{5}{6}$a，c=$\frac{1}{6}$a，
∴cx²-bx+a＞0化为$\frac{1}{6}$ax²+$\frac{5}{6}$ax+a＞0，
整理得x²+5x+6＜0，
即（x+2）（x+3）＜0，
解得-3＜x＜-2；
∴不等式cx²-bx+a＞0的解集是（-3，-2）．
故答案为：（-3，-2）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，也考查了推理能力和计算能力，是综合性题目．