Question

【题目】如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定．

（1）求点M的坐标；

（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

Answer 1

【答案】(1) ．(2) 将设计为时，折线段赛道MNP最长．

【解析】

（1）利用图象分别求得周期和的值，进而求得最后得到函数解析式，即可求得的坐标．

（2）设，利用正弦定理表示出，，即可表示出，用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值.

解：（1）由题意知，，

∵，∴，

∴．

当时，，

∴．

（2）连接MP，如图所示．

又∵，∴．

在中，，．

设，则，

∵．

∴，．

∴

．

∵，

∴，

∴．

∴当时，折线段赛道MNP最长．

所以将设计为时，折线段赛道MNP最长．