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    【题目】设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.

    ⑴若，，求椭圆的离心率；

    ⑵若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.

    ①求椭圆的方程；

    ②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.

    【答案】（1）（2）①②

    【解析】

    （1）由题意得，利用勾股定理得，再利用椭圆的定义得到的关系，从而求得离心率；

    （2）①由，得，求出后，即可得到椭圆的方程；

    ②设点，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得关于的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积，从而求得的值.

    （1）连接.因为，

    所以是等边三角形，所以.

    又，所以,所以.

    于是，有，

    所以，即所求椭圆的离心率为.

    （2）①由，得，

    整理，得.

    又因为，所以，.

    故所求椭圆的方程为.

    ②依题意，设点.

    联立方程组

    消去，并整理得.

    则，（*）

    且，

    所以.

    又点到直线的距离为，

    所以.

    因为，所以，解得.

    经验证满足（*）式，

    故所求实数.

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    经常使用免费WiFi

    尔或不用免费WiFi

    合计

    45岁及以下

    70

    30

    100

    45岁以上

    60

    40

    100

    合计

    130

    70

    200

    （1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关；

    （2）现从所抽取的45岁以上的市民中按是否经常使用WiFi进行分层抽样再抽取5人.

    （i）分别求这5人中经常使用，偶尔或不用免费WFi的人数；

    （ii）从这5人中，再随机选出2人各赠送1件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用免费WiFi的概率.

    附：，其中.

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

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    （1）求椭圆的方程；

    （2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．

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