Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2.

(1)求该四棱锥P-ABCD的表面积和体积；

(2)求该四棱锥P-ABCD内切球的表面积.

Answer 1

【答案】(1) S＝8＋4，，V＝ (2) (24－16)π.

【解析】

(1) 四个侧面都是直角三角形，进而求出边长，即可求得侧面积，底面是正方形，二者相加即可求出表面积，PD⊥平面ABCD，故四棱锥的高为，再由棱锥的体积公式求出体积；

(2) 设内切球的半径为r，球心为O，根据等体积法求出内切球的半径，则由即可求得半径,进而求出内切球的表面积.

(1) 解：（1）由已知底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，

，得PD⊥AD，PD⊥AB，AD⊥AB．

又，∴AB⊥平面PAD，∴PA⊥AB，∴PAPB

∴

同理

∴

．

S＝8＋4，，V＝

（2）设内切球的半径为r，球心为O，

则球心O到平面PAB，平面PAD，平面PCB，平面PCD，平面ABCD的距离均为r，

由可得

∴

∴.

∴r＝2－，S＝(24－16)π.