Question

【题目】已知数列中，，又数列满足：.

(1)求证:数列是等比数列；

(2)若数列是单调递增数列，求实数的取值范围；

(3)若数列的各项皆为正数，，设是数列的前项和，问：是否存在整数，使得数列是单调递减数列?若存在,求出整数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在整数且为正整数，使得数列是单调递减数列.

【解析】

（1）利用等比数列的定义可证明是等比数列.

（2）利用（1）求出的通项，再根据单调增数列的定义可求实数的取值范围.

（3）根据是单调递减数列，可得，总有恒成立，再根据的通项可得为单调减数列，从而由可得整数满足的条件.

（1）因为，故，

整理得到，因为，故，

所以即，故是首项为，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知是首项为，公比为2的等比数列.

所以，所以，

因为为单调递增数列，所以对任意的恒成立，

故对任意的恒成立，

整理得到对任意的恒成立，

当时，恒成立，故，又，故.

所以实数的取值范围为.

（3）因为的各项均为正数，故.

又，

因为是单调递减数列，故任意，总有即恒成立，

因为，故为递减数列，

故.

任意，恒成立等价于，又，

所以即，又为整数，故.

存在整数且为正整数，使得数列是单调递减数列.