Question

【题目】在直四棱柱中，底面是菱形，，，、分别是线段、的中点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，交于点，利用菱形对角线的性质得出，由直棱柱的性质得出平面，可得出，由直线与平面垂直的判定定理可证明出平面，由此可证明出；

（2）以为坐标原点，，分别为，轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（1）连接，交于点.

因为四边形是菱形，所以.

因为四棱柱是直四棱柱，所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以；

（2）由（1）知，以为坐标原点，，分别为，轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.

因为，所以，因为底面四边形为菱形，且，

所以，，又因为、分别是线段、的中点，

所以，，，

所以，.

设平面的一个法向量为，则.

令，得.

易知为平面的一个法向量.

设平面与平面所成的锐二面角为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.