Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分别是BC A₁A的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求直线EF与平面ABB₁A₁所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过取BC₁的中点G，连接EG、A₁G，先证得线线平行，再由线成平行的判定定理得到线面平行；
（2）建立空间坐标系，分别求出直线EF的方向向量与平面ABB₁A₁的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 证明：（1）取BC₁的中点G，连接EG、A₁G，

∵E、F分别是BC A₁A的中点．
∴EG∥CC₁，且EG=

1

2

CC₁，AF∥CC₁，且AF=

1

2

CC₁，
∴EG∥AF，且EG=AF，
∴四边形A₁GEF为平行四边形，
∴EF∥A₁G，
∵EF?平面A₁C₁B，A₁G?平面A₁C₁B，
∴EF∥平面A₁C₁B；
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分别是BC A₁A的中点．
故以C为坐标原点建立空间坐标系O-xyz，

则A（0，2，0），B（2，0，0），E（1，0，0），F（0，2，1），C₁（0，0，2），
则

EF

=（-1，2，1），

.

AA1

=（0，0，2），

AB

=（2，-2，0），
设平面ABB₁A₁的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • . AA1 =0 m • . AB =0

，即

2z=0 2x-2y=0

，
令x=1，则

m

=（1，1，0），
设直线EF与平面ABB₁A₁所成角为θ，
则sinθ=

| EF • m |

| EF |•| m |

=

1

6 • 2

=

3

6

故cosθ=

33

6

，
∴tanθ=

11

11

点评：本题考查的知识点是线面平行的判定定理，直线与平面的夹角，是空间线面关系的综合应用，难度中档．