Question

求证：函数f（x）=x²+|x+a|+1是偶函数的充要条件是a=0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：分别从充分性和必要性两个方面利用奇偶函数的定义进行证明．

解答： 证明：充分性：若a=0，则函数f（x）=x²+|x+a|+1是偶函数．
因为a=0，所以f（x）=x²+|x|+1（x∈R），
又因为f（-x）=（-x）²+|-x|+1=x²+|x|+1，所以f（x）是偶函数．
必要性：若f（x）=x²+|x+a|+1是偶函数，则a=0．
因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），即
（-x）²+|-x+a|+1=x²+|x+a|+1，
所以x²+|x-a|+1=x²+|x+a|+1，
从而|x-a|=|x+a|，因此（x-a）²=（x+a）²，
展开整理，得ax=0．因为x∈R，所以a=0．

点评：本题考查了充要条件的命题证明以及函数奇偶性的证明；对于充要条件的证明要分别从充分性和必要性两个方面分别证明．