Question

11．二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．
（3）设函数f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，求出f（x+1），利用已知条件列出方程组，求解即可．
（2）通过f（x）＞2x+m转化为m＜x²-3x+1，令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，求出g（x）_min，然后求解即可．
（3）当$a≤-\frac{1}{2}$时$，-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$时，当$a≥\frac{1}{2}$时，分别求解f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c．
从而，f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，
又f（x+1）-f（x）=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
又f（0）=c=1，∴f（x）=x²-x+1．
（2）由（1）及f（x）＞2x+m⇒m＜x²-3x+1，
令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，则当x∈[-1，1]时，g（x）=x²-3x+1为减函数，
∴当x=1时，g（x）_min=g（1）=-1，从而要使不等式m＜x²-3x+1恒成立，
则m＜-1．
（3）当$a+1≤\frac{1}{2}$，即$a≤-\frac{1}{2}$时，则f（x）在[a，a+1]递减，∴$f{（x）_{min}}=f（a+1）={a^2}+a+1$
当$a＜\frac{1}{2}＜a+1$，即$，-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$时，则f（x）在[a，$\frac{1}{2}$]递减，$[\frac{1}{2}，a+1]$递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$
当$a≥\frac{1}{2}$，时，则f（x）在[a，a+1]递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}-a+1$
∴$g（a）\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}+a+1，a≤-\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{4}，-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}}\\{{a^2}-a+1，a≥\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的最值的求法以及恒成立的应用，考查转化思想，计算能力．