Question

20．三角形ABC中，AB=$\sqrt{2}$，BC=1，cosC=$\frac{3}{4}$．
（1）求边长AC．
（2）求三角形ABC的面积．
（3）求$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$．

Answer 1

分析 （1）由cosC=$\frac{3}{4}$求得sinC，再由正弦定理求得sinA，得到cosA，由余弦定理求得边长AC；
（2）直接由面积公式求得三角形ABC的面积；
（3）展开数量积公式求解．

解答 解：（1）如图，
在△ABC中，由cosC=$\frac{3}{4}$，得sinC=$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
由正弦定理得：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$，∴sinA=$\frac{BC}{AB}•sinC=\frac{1}{\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{\sqrt{14}}{8}$，
则cosA=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．
∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-$\frac{5\sqrt{2}}{8}×\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{14}}{8}×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{2+1-2×\sqrt{2}×1×（-\frac{\sqrt{2}}{4}）}=2$；
（2）${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•AC•sinA=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{14}}{8}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
（3）$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=$|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{CA}|•cos（π-C）$=$1×2×（-\frac{3}{4}）=-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在几何中的应用，训练了三角形的解法，是中档题．