Question

2．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a：b：c=2：5：6．
（1）求cosB；
（2）若△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{39}}{4}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由a：b：c=2：5：6，设a=2k，b=5k，c=6k．（k＞0）．利用余弦定理即可得出cosB．
（2）sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{39}}{8}$．利用$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2k×6k$×$\frac{\sqrt{39}}{8}$=$\frac{3\sqrt{39}}{4}$，解得k即可得出．

解答 解：（1）由a：b：c=2：5：6，设a=2k，b=5k，c=6k．（k＞0）．
∴cosB=$\frac{（2k）^{2}+（6k）^{2}-（5k）^{2}}{2×2k×6k}$=$\frac{5}{8}$．
（2）sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{39}}{8}$．
∴$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2k×6k$×$\frac{\sqrt{39}}{8}$=$\frac{3\sqrt{39}}{4}$，解得k=1．
∴△ABC的周长=13k=13．

点评 本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．