Question

设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是________．

Answer 1

分析：函数f（x）=是[，+∞）上的增函数，因此若函数f（x）=为闭函数，则可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）．因此方程k=x-在[，+∞）上有两个不相等的实数根a、b．最后采用换元法，讨论二次函数的单调性，可得f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：．
解答：∵k是常数，函数y=是定义在[，+∞）上的增函数，
∴函数f（x）=是[，+∞）上的增函数，
因此，若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]⊆D，
使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所示）
∴，
可得方程k=x-在[，+∞）上有两个不相等的实数根a、b
令t=，得x=，设函数F（x）═x-=g（t），（t≥0）
即g（t）=t²-t-，
在t∈[0，1]时，g（t）为减函数-1≤g（t）≤；在t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数g（t）≥-1；
∴当时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程k=x-，
当f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：．
故答案为：
点评：本题以含有根式的函数为例，探求函数为闭函数时参数k的取值范围，着重考查了函数的单调性、换元法讨论二次函数等知识点，属于中档题．