Question

【题目】三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC， ，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为 ，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（ ）
A.2
B.3
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD⊥平面ABC， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，
设AB=BC=a，PD=h，外接球半径OC=OP=R，
则OD=h﹣R，CD= AC= a，
∵VP﹣ABC= = = ，∴a2= ，
∵CD2+OD2=OC2 ， 即（h﹣R）2+ a2=R2 ，
∴R= = = ≥3 = ，
当且仅当 即h=3时取等号，
∴当外接球半径取得最小值时，h=3．
故选：B．

设AB=a，棱锥的高为h，根据体积得出a与h的关系，根据勾股定理得出外接球半径R关于h的表达式，利用基本不等式得出R最小值时对应的h的值即可．