Question

7．下列四个命题：
①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；
②命题“?x∈R，x-2≤lgx”的否定是“?x∈R，x-2＞lgx”；
③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；
④“a≤0”是“函数f（x）=|x²-ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．
其中所有正确命题的序号为②③④．

Answer 1

分析 对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①函数f（x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x的最大值为$\frac{1}{2}$，不正确；
②命题“?x∈R，x-2≤lgx”的否定是“?x∈R，x-2＞lgx”，正确；
③∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞$\frac{π}{2}$，∴A＞$\frac{π}{2}$-B，∵y=sinx在（0，$\frac{π}{2}$）上是增函数，∴sinA＞sin（-B）=cosB 同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosCsinA，正确；
④a≤0，函数f（x）=|x²-ax|的零点是a，0，结合二次函数的对称轴，可得函数f（x）=|x²-ax|在区间（0，+∞）内单调递增；若函数f（x）=|x²-ax|在区间（0，+∞）内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得$\frac{a}{2}$≤0，∴a≤0，∴“a≤0”是“函数f（x）=|x²-ax|在区间（0，+∞）内单调递增”的充分必要条件，正确．
故答案为：②③④．

点评 本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．