Question

18．如图，已知抛物线C：x²=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．
（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；
（2）若点Q（x₀，y₀）是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切线l₁、l₂、l₃，若l₁与l₂、l₁与l₃、l₂与l₃分别相交于D、E、H，设△ABQ，△DEH的面积依次为S_△ABQ，S_△DEH，记λ=$\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△EDH}}$，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线C：x²=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，求出p，可得抛物线C的方程，根据，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限，求出点A、点B的坐标；
（2）求出D，E，H的坐标，进而求出S_△ABQ，S_△DEH，即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线C：x²=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y；
∵点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，
∴A（2，1）；B（-2，1）；
（2）y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x
∴l₁：y=x-1；l₂：y=-x-1；l₃：y=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{4}$x₀²，
∴D（0，-1），E（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，$\frac{{x}_{0}}{2}$），H（$\frac{{x}_{0}-2}{2}$，-$\frac{{x}_{0}}{2}$），
∴EH=$\sqrt{4+{{x}_{0}}^{2}}$；
${d}_{D-{l}_{3}}$=$\frac{|1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}}}$
∴S_△ABQ=$\frac{1}{2}AB•{d}_{Q-AB}$=$\frac{|4-{{x}_{0}}^{2}|}{2}$，S_△DEH=$\frac{1}{2}EH•$${d}_{D-{l}_{3}}$=$\frac{|4-{{x}_{0}}^{2}|}{4}$
∴λ=$\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△EDH}}$=2．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．