Question

3．已知函数f（x）=-a^2x-2a^x+1（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）当x∈[-2，1]时．，函数f（x）的值为-7．求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，结合指数函数和一元二次函数的性质即可求函数f（x）的值域；
（2）讨论a＞1或0＜a＜1，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）设t=a^x，则t＞0，
则函数等价为y=-t²-2t+1=-（t+1）²+2，
∵t＞0，
∴y＜1，即函数的值域为（-∞，1）．
（2）若a＞1，则当x∈[-2，1]时，t∈[$\frac{1}{{a}^{2}}$，a]，
此时函数y=-t²-2t+1=-（t+1）²+2为减函数，
即当t=a时，y=-7，
即-（a+1）²+2=-7，
即（a+1）²=9，
即a+1=3或a+1=-3（舍），
即a=2；
若0＜a＜1，则当x∈[-2，1]时，t∈[a，$\frac{1}{{a}^{2}}$]，
此时函数y=-t²-2t+1=-（t+1）²+2为减函数，
即当t=$\frac{1}{{a}^{2}}$时，y=-7，
即-（$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）²+2=-7，
即（$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）²=9，
即$\frac{1}{{a}^{2}}$+1=3或$\frac{1}{{a}^{2}}$+1=-3（舍），
即$\frac{1}{{a}^{2}}$=2，此时a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=2．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法结合一元二次函数和指数函数的性质是解决本题的关键．